En quoi consiste le calcul numérique ? Rares sont les personnes extérieures au monde de l’ingénierie à saisir ce que signifie concrètement faire des dimensionnements ou des calculs de différents types.
De manière générale, le principe du calcul et de la simulation dans le monde de la conception et de l’ingénierie, est de mettre en équations mathématiques un système, afin de prédire comment il se comportera une fois qu’il sera réellement construit.
Les bases du dimensionnement, des objets quotidiens aux systèmes industriels
Les ingénieurs travaillent à partir de concepts ou de concepts en cours de développement et partent d’exigences particulières pour orienter leur conception.
Et cela peut s’appliquer à tout !
Construction d’un pont, d’une fusée ou même d’un jouet pour enfants qui doit résister aux chocs et à la manipulation…
L’intérêt de la simulation et du calcul est donc déjà de prédire et d’évaluer comment se comporte un système face à X ou Y sollicitation… alors qu’il n’existe pas encore. Et pour ce faire, il est important de le mettre en équation.
Au sein du groupe Ametra, nous sommes très orientés mécanique : notre activité principale est de prédire comment se comportent différentes structures sous des sollicitations diverses.
Chaque système mécanique va alors se voir appliquer ce que l’on appelle des conditions limites. En effet, tout calcul ou simulation est encadré par des limites (la limite étant ce qui nous intéresse pour l’objectif de la structure finale).
Par exemple, pour simuler un réseau électrique, on prend ce qui entre et ce qui sort.
Ce qui entre peut être le réseau électrique ou EDF ; ce qui sort, une ampoule.
En mécanique, c’est la même chose : il existe des conditions de blocage, comme la fixation d’un plancher sur un mur ou sur un poteau (à titre purement illustratif), ou encore une autre condition limite qui peut être les divers charges que ce même plancher devra être capable de supporter tout au cours de sa vie.
Ces charges peuvent êtres décrites dans des normes, ou dans le cadre de besoins fonctionnel particuliers…
Quels types de sollicitations la simulation doit-elle prendre en compte ?
Elles sont de multiples sortes :
- Charges statiques permanentes et variables (pour un plancher, le mobilier sera un point d’évaluation de la capacité en charge statique; pour un parking, les voitures stationnées…)
- Charges dynamiques (typiquement les voitures qui roulent sur un sol).
Les charges peuvent être à la fois dynamiques et variables.
Plusieurs exemples historiques illustrent malheureusement ce qu’il se passe quand les dimensionnements sont erronés : stade qui s’effondre, ancien pont sur lequel les militaires ne pouvaient pas marcher au pas cadencé au risque de les abîmer, pont qui entre en résonance sous sollicitation de vent et qui s’effondre (pont de Tacoma https://www.youtube.com/watch?v=Rmfl2kFeNPM ).
Dans le cas du stade qui s’effondre, les personnes qui sautent partout et hurlent sont à la fois une sollicitation aussi variable que dynamique qui peuvent faire entrer en résonance les structures (catastrophe de Furiani).
On comprend alors l’importance du travail des ingénieurs en charge des calcul de dimensionnement.
Ces derniers doivent parfaitement anticiper ces charges statiques et dynamiques, mais aussi environnementales (tempête, séisme, neige, glace, variation rapide ou lente et prolongée des températures…)
Tous ces éléments sont pris en compte pour dimensionner les structures, en fonction de leur finalité propre bien sûr.
D’autres charges existent : elles peuvent être incidentelles ou accidentelles. On les retrouve aussi bien dans les systèmes industriels que sur des produits du quotidien qui peuvent connaître un défaut de fonctionnement. Dans le cas d’une cocotte-minute par exemple, cette dernière doit être dimensionnée pour résister à une pression largement supérieure à sa pression d’utilisation et doit être sécurisée par une valve fusible en cas d’obstruction du système de limitation de la pression afin d’éviter une explosion potentiellement catastrophique.
A échelle plus sensible encore, il est fondamental de bien anticiper les possibles défauts de fonctionnement des centrales nucléaires, des avions…
Comment dimensionner des structures ? Des éléments finis à l’apport du numérique
Pour dimensionner des structures simples, les ingénieurs en mécanique utilisent des équations qu’ils connaissent bien, qu’il s’agisse de les appliquer à des modèles complexes ou simples.
Pour une équerre qui tient une étagère, le dimensionnement va porter sur les vis, les chevilles, l’équerre qui prend en compte le poids de l’étagère mais aussi toute la charge de poids (ce que l’on peut mettre dessus, du bibelot aux livres plus lourds en passant par un enfant qui jouerait à s’y accrocher !).
Lorsqu’il s’agit de règles de calcul simples, cela peut se faire à la main de manière basique.
Mais dès que les structures gagnent en complexité, on entre dans l’univers de la simulation numérique.
Il va alors s’agir de modéliser une structure en dessinant et en ayant recours à ce que l’on appelle des éléments finis, qui sont de petits éléments unitaires. Ces éléments finis sont des multiplications simples, mais la complexité naît d’en manipuler beaucoup simultanément. Cela mène alors à la résolution d’équations aux dérivées partielles.
De manière simplifiée, la méthode simplifiée pourrait être expliquée ainsi : il est possible de dessiner un cercle dès lors que l’on a en notre possession de tous petits bouts de ligne droite que l’on va pouvoir poser les uns à côté des autres jusqu’à ce qu’ils forment visuellement un cercle.
Si ces éléments droits étaient plus grands, cela ressemblerait plutôt à un carré ou à un losange. Mais dès lors que l’on diminue leur taille et multiplie leur nombre, on passe peu à peu à un octogone puis à un cercle que l’on peut reconnaître visuellement.
De manière plus globale, il est possible de réécrire un élément volumique ou un système à partir d’une multitude de petits cubes ou de petits éléments (pour reproduire une forme initiale).
On parle alors de discrétisation, c’est-à-dire de rendre les choses discrètes avec de petits éléments aux équations simples.
Au final, le calcul numérique entre en jeu dès lors que les structures impliquent un nombre important de ces petits éléments. Il est aujourd’hui possible d’en gérer plusieurs dizaine de millions.
Un ordinateur va apporter sa capacité de calcul pour reproduire un nombre très important de fois le même type de calculs avec des variantes.
Ce qui rend un calcul complexe, c’est qu’une action sur un élément peut générer des efforts ou actions chez tous ses éléments voisins.
Exemple : si l’on jette un caillou dans une bassine d’eau, il tombe, une vague se propage, atteint le rebord de la bassine et la vague revient pour réagir avec l’onde qui lui a donné naissance. Ces interactions viennent complexifier les simulations et doivent être prises en compte.
Le poids des calculs s’intensifie lorsqu’il s’agit de prendre en compte et suivre toutes ces interactions mutuelles entre différents éléments.
Le calcul numérique permet de pallier ce problème. Il va permettre de regarder à grande échelle comment se comportent ces petits éléments, s’ils résistent ou non et comment ils se comportent sous telle ou telle sollicitation.
Les ingénieurs doivent modifier le concept jusqu’à ce qu’il fonctionne et que la structure fasse exactement ce qui était prévu, qu’elle ne soit ni cassée, ni fatiguée, ni abîmée dans le temps.
Le dimensionnement en général et le calcul numérique en particulier servent donc deux finalités :
- Que la structure fasse ce qu’elle est supposée faire ;
- Que la structure résiste à des éléments “extrêmes” (une voiture est dimensionnée pour pouvoir sans souci rouler X kilomètres, mais aussi résister de manière exceptionnelle, au cas où le conducteur saute un dos d’âne par inadvertance).
A quoi correspondent ces éléments “extrêmes” ?
C’est très simple : il s’agit de différencier les charges momentanées exceptionnelles ou extraordinaires des charges que les structures peuvent encaisser de manière durable voire permanente.
Exemple : une prise électrique classique utilisée pour recharger une voiture électrique va connaître une détérioration au niveau du câble car sa capacité maximale peut être poussée pendant quelques minutes mais pas pendant plusieurs jours.
Cela soulève un autre point important : le calcul numérique doit aussi permettre de dimensionner la résilience.
Combien de temps, en fonction du besoin réel et sans notion de durée de vie infinie, une structure doit-elle et peut-elle tenir ?
Les coûts sont associés à un besoin et des enjeux différents. De même, il y a un équilibre à trouver au niveau de l’optimisation : beaucoup de solutions ne fonctionneraient pas si l’on recherchait leur niveau de résistance absolue (un avion indestructible ne pourrait pas décoller).
Et un petit rappel de conclusion : la notion de numérique s’appuie sur une résolution d’un problème à l’aide de petits éléments. Lorsque l’on numérise quelque chose, y compris une photo, on utilise des 1 et des 0 pour obtenir et reconstituer une image ou une structure complexe !
Plus un élément est petit, plus il sera précis et facile à caractériser. Le calcul numérique permet justement de traiter des millions d’éléments de ce type sur une base d’informations fiables, sans forcément se poser la question des équations souvent anciennes qui sont utilisées aujourd’hui !
La limite des calculs numériques reste le temps de résolution des équations, il faut pouvoir avoir un résultat en quelques minutes, heures ou jours.
Ce temps est lié à plusieurs paramètres :
- la complexité des calculs statiques, dynamiques (fréquentiels ou temporelles),
- le nombre d’éléments,
- la puissance des ordinateurs.
Plus le modèle possède de petits éléments plus celui-ci sera précis, plus celui sera long à résoudre.
A titre d’information le temps de calcul est globalement proportionnel au carré du nombre d’éléments de calculs.
On comprend donc que, même encore aujourd’hui avec des machines informatiques toujours plus puissante, un des grands défis de la modélisation numérique pour les simulations reste l’optimisation du nombre et de la qualité des éléments finis qui constitue le modèle.
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(c) image principale : Pso sur Wikipédia français, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/>, via Wikimedia Commons
